Strong and weak error estimates for the solutions of elliptic partial differential equations with random coefficients

We consider the problem of numerically approximating the solution of an elliptic partial di erential equation with random coe cients and homogeneous Dirichlet boundary conditions. We focus on the case of a lognormal coe cient, we have then to deal with the lack of uniform coercivity and uniform boundedness with respect to the randomness. This model is frequently used in hydrogeology. We approximate this coe cient by a nite dimensional noise using a truncated Karhunen-Loève expansion. We give then estimates of the corresponding error on the solution, both a strong error estimate and a weak error estimate, that is to say an estimate of the error commited on the law of the solution. We obtain a weak rate of convergence wich is twice the strong one. Besides this, we give a complete error estimate for the stochastic collocation method in this case, where neither coercivity nor boundedness are stochastically uniform. To conclude, we apply these results of s trong and weak convergence to two classical cases of covariance kernel choices: the case of an exponential covariance kernel on a box and the case of an analytic covariance kernel, yielding explicit weak and strong convergence rates. Key-words: uncertainty quanti cation, elliptic PDE with random coe cients, KarhunenLoève expansion, strong error estimate, weak error estimate, lognormal distribution ∗ Inria Rennes, Irisa † Ens Cachan antenne de Bretagne in ria -0 04 90 04 5, v er si on 3 5 Ap r 2 01 1 Estimations d'erreurs forte et faible pour des équations aux dérivées partielles elliptiques à coe cients aléatoires Résumé : On s'intéresse à l'approximation numérique de la solution d'une équation aux dérivées partielles elliptique à coe cients aléatoires, avec des conditions de Dirichlet homogènes au bord. On se concentre sur le cas d'un coe cient lognormal, on est ainsi confronté au fait que ce coe cient n'est ni uniformément borné, ni uniformément coercif par rapport à l'aléatoire. Ce modèle est fréquemment utilisé en hydrogéologie. On approche ce coe cient dans un espace aléatoire de dimension nie, en utilisant un développement de Karhunen-Loève. On donne alors des estimations pour l'erreur qui en découle sur la solution, une estimation d'erreur forte mais également une estimation d'erreur faible, c'est à dire une estimation de l'erreur commise sur la loi de la solution. On obtient alors un taux de convergence faible double du taux de convergence forte. De plus, on donne une estimation d'erreur complète pour la méthode de collocation appliquée dans ce cas où le coe cient n'est ni uniformément borné, ni uniformément coercif par rapport à l'aléatoire. Pour conclure, on applique ces résultats à deux choix particuliers de noyaux de covariance: le cas d'une covariance exponentielle sur un pavé et le cas d'une covariance analytique, donnant des taux de convergence forte et faible explicites dans chaque cas. Mots-clés : quanti cation des incertitudes, EDP elliptique à coe cients aléatoires, développement de Karhunen-Loève, estimation d'erreur forte, estimation d'erreur faible, distribution lognormale in ria -0 04 90 04 5, v er si on 3 5 Ap r 2 01 1 ERROR ESTIMATES FOR PDEs WITH RANDOM COEFFICIENTS 3